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Compter
Calculer

• 1) Introduction du cours
  • Accueil, bienvenue, voeux, merci.
  • Ceux qui ne sont pas inscrits doivent s'inscrire
• 2) Représentation binaire / analogique
  • Analogique
    • Grandeurs physiques
    • Elles varient continuement
    • Nombres avec virgule.
  • Binaire
    • Hypothèse du tiers-exclu
    • Nombres sans virgule.
    • Fonctionnement en buttée, en bloqué-saturé.
  • Numérique digital
    • Nombre binaires
    • Pour représenter l'ensemble N des entiers naturels
• 3) Numération
  • Logique
    • Algèbre de Boole {0, 1}
  • binaire
    Numérique
    Digital
    • Compter sur 2, 3, 4, 8, 16 digits.
• 4) Conversions
  • binaire➔décimal

    • Ex : 10101          : le nombre binaire à convertir en décimal
                     ⁽²⁾
      
      B⁴  B³  B²  B¹  B⁰  : les poids des colonnes (forme générale)
      2⁴  2³  2²  2¹  2⁰  : les poids des colonnes (forme instancée)
      16  8   4   2    1  : les poids des colonnes (calculés)
      1   0   1   0    1  : En face, on écrit le nombre. Ici : 10101
      16  0   4   0    1  : les poids des colonnes (calculés pour 10101)
         +  +   +  +   = 21     : Avec une somme, on calcule le résultat
                                    ⁽¹⁰⁾

  • décimal➔binaire

    • Ex : 21     : le nombre décimal à convertir en binaire
               ⁽¹⁰⁾ 
      B⁴  B³  B²  B¹  B⁰  : les poids des colonnes (forme générale)
      2⁴  2³  2²  2¹  2⁰  : les poids des colonnes (forme instancée)
      16  8   4   2    1  : les poids des colonnes (calculés)
      
      Je n'ai le droit de faire que des tas de 16, 8, 4, 2, 1.
      
      21 - 16 = 5 : Je pars de 21 et lui soustrais le plus grand tas possible : 16
      5 - 4 = 1     : Je pars de 5 et lui soustrais le plus grand tas possible : 4
      
      16  0   4   0    1  : les 3 tas trouvés sont classés dans les colonnes pondérées
         +  +   +  +   = 21 : Au moyen d'une somme, on vérifie notre calcul
      1   0   1   0    1  : On écrit un 1 devant chaque tas, 0 devant un vide.
      10101 : en concaténant les chiffres trouvés, on obtient le nombre binaire.
      
      Résultat : 21     = 10101
                       ⁽¹⁰⁾              ⁽²⁾

• 5) Incrémenter
  • Les règles

    • 0 + 0 = 0
      0 + 1 = 1
      1 + 0 = 1
      1 + 1 = 10 ; 1 + 1 ne vaut pas 2,
      car 2 n'existe pas en binaire,
      mais on utilise 10, son équivalent en binaire

  • Un exemple
    •         ¹
        0 0 1 1
      +         1
      =         0 :  1+1= 10, je pose 0 et je retiens 1.
    •      ¹  ¹
        0 0 1 1
      +         1
      =   1 0 0 :  1+1= 10, je pose 0 et je retiens 1.
    •   ⁰  ¹  ¹
        0 0 1 1
      +         1
      =   1 0 0 :  1+0= 01, je pose 1 et je retiens 0.
    •   ⁰  ¹  ¹
        0 0 1 1
      +         1
      = 0 1 0 0 : 0+0= 00, je pose 0;
    •   ⁰  ¹  ¹
        0 0 1 1
      +         1
      =   1 0 0 : Finalement, je lis 100.
• 6) Additionner A + B.
  • Les règles
    • Rapidement
      •  0 + 0 = 0
         0 + 1 = 1
         1 + 0 = 1
         1 + 1 = 10 ; 1 + 1 ne vaut pas 2 mais 10
        10 + 1 = 11
        
    • In extenso
      • AdditionEnBinaire_RèglesDe
  • Exemples
    • En détail
      • 
          1 1 1 0
        +1 0 1 1
        =         1 :  0+1= 1, je pose 1 et je ne retiens rien.
      •      ¹
          1 1 1 0
        +1 0 1 1
        =      0 1 :  1+1= 10, je pose 0 et je retiens 1.
      •   ¹  ¹  ¹
             1 1 1 0
        +   1 0 1 1
        =   1 0 0 1 :  1+1= 10, +1 = 11 : je pose 1 et je retiens 1.
      •   ¹  ¹  ¹
             1 1 1 0
        +   1 0 1 1
        =1 1 0 0 1 :  1+0 = 1, +0 = 1 : je pose 1.
      •   ¹  ¹  ¹
             1 1 1 0
        +   1 0 1 1
        =1 1 0 0 1 :  Finalement, je lis 11001
      •       1 1 1 0   :      14
        +    1 0 1 1   :  +  11
        = 1 1 0 0 1   :  =  25
    • Rapidement
      • AdditionEnBinaire_428plus234
    • Exercice
      •   100101100 = 300
          001100100 = 100
• 7) Complément à 1 du nombre n : Cà1(n)
  • En base 10
    • Exemple

      •       n   : 742    : Nous partons du nombre n = 742
        Cà1(n)  : 257    : Nous calculons son complément à 1
        
                  n  :    742
        + Cà1(n): + 257
        = 10³ -1 : = 999 = 1000-1 = B³ - 1

        n + Cà1(n) = 10³ -1  :  Nous trouvons cette égalité intermédiaire

        n + Cà1(n) = 10³ -1                  : je fais passer -1 à gauche
        n + Cà1(n) + 1 = 10³               : je fais passer n à droite
              Cà1(n) + 1 = 10³ - n          : j'obtiens -n à un overflow près

  • En base 2
    • Exemple

      •       n   : 1011
        Cà1(n)  : 0100
        
                  n   :    1011
        + Cà1(n) : + 0100
        =   2⁴ -1  : = 1111 = 10000-1 = B⁴ - 1

        n + Cà1(n) = 2³ -1

        n + Cà1(n) = 2³ -1                  : je fais passer -1 à gauche
        n + Cà1(n) + 1 = 2³               : je fais passer n à droite
              Cà1(n) + 1 = 2³ - n          : j'obtiens -n à un overflow près

• 8) Soustraire : calculer m - n grâce au complément à 2 du nombre n : Cà2(n)
  • Définition générale
    • Cà2(n) = Cà1(n) + 1
  • Résultat
    général

    • n + Cà1(n) = B³ -1          : Je pars de cette formule. Je fais passer -1 à gauche
      n + Cà1(n) + 1 = B³        : il devient + 1. Je fais passer n à droite
            Cà1(n) + 1 = B³ - n   : j'obtiens -n à un overflow près. J'utilise le Cà2(n)
            Cà2(n)       = B³ - n   : à un dépassement de capacité près Cà2(n) = - n
      
             Cà2(n) = B³         - n : Je repars de cette égalité. Soit m un nombre donné,
      m + Cà2(n) = B³ + m - n : j'ai rajouté m des deux côtés de l'égalité
      m + Cà2(n) =         m - n : Résultat : à un dépassement de capacité près,
                                               au moyen du Cà2(n), je peux calculer m - n
                                              (à B³ un dépassement de capacité près).
      

  • Exemple
    en
    décimal

    • D'abord, effectuons le calcul classiquement :
       m  :   742
      - n   : - 235
      m-n =  507 : C'est le résultat qu'il nous faut trouver !
      
      Maintenant refaisons le calcul par la méthode du Cà2(n)
      
      D'abord nous calculons le Cà1(n), puis nous le vérifions :
      Cà1(n) :  764
      +    n  :  235
      =        :  999  : OK, la vérification est bonne.
      
      Partant du Cà1(n), en l'incrémentant, calcul du Cà2(n)
        Cà1(n) :   764
      +       1  :  +  1
      = Cà2(n) :   765  : Ici nous avons le Cà2(n).
      
      Ici, appliquons la formule : m + Cà2(n) = B³ + m - n
      ou plutôt, après commutation : Cà2(n)+m = B³ + m - n
                             ¹
        Cà2(n) :        765
         +  m   :  +   742
      = B³+m-n  = 1507             : c'est le résultat brut
         B³+m-n  = 1000 + 507  : faisons apparaître B³
         B³+m-n  =    B³  + 507  : éliminons les deux côtés
               m-n  =             507  : C'est le résultat final
                                  Nous avons trouvé le bon résultat
      

  • Exemple
    en
    binaire

    • D'abord, effectuons le calcul classiquement :
       m  :   1010
      - n   : - 0110
      m-n =  0100 : C'est le résultat qu'il nous faut trouver !
      
      Maintenant refaisons le calcul par la méthode du Cà2(n)
      
      D'abord nous calculons le Cà1(n), puis nous le vérifions :
      Cà1(n) :  1001
      +    n  :  0110
      =        :  1111  : OK, la vérification est bonne.
      
      Partant du Cà1(n), en l'incrémentant, calcul du Cà2(n)
                           ¹
        Cà1(n) :   1001
      +       1  :  +    1
      = Cà2(n) :   1010  : Ici nous avons le Cà2(n).
      
      Ici, appliquons la formule : m + Cà2(n) = B³ + m - n
      ou plutôt, après commutation : Cà2(n)+m = B³ + m - n
      
                             ¹
        Cà2(n) :       1010
         +  m   :  +  1010
      = B⁴+m-n  = 10100             : c'est le résultat brut
         B⁴+m-n  = 10000 + 100  : faisons apparaître B⁴
         B⁴+m-n  =      B⁴  + 100  : éliminons les deux côtés
               m-n  =               100  : C'est le résultat final
                                 Nous avons trouvé le bon résultat